欧拉公式_e^(iθ)=cosθ+isinθ

公式展示

e^(iθ)=cosθ+i sinθ，e^(iπ)+1=0

θ为实数，i为虚数单位

欧拉公式被誉为最美的数学公式，将指数函数推广到复数域，建立了三角函数与指数函数的联系。

例1：θ=π/2

e^(iπ/2)=cos(π/2)+i sin(π/2)=i

例2：复数乘法

(1+i)(1-i)=2。用欧拉公式：√2 e^(iπ/4)·√2 e^(-iπ/4)=2

例3：求i^i

i=e^(iπ/2)，i^i=e^(i·iπ/2)=e^(-π/2)≈0.2079(实数!)

θ用弧度

欧拉公式中θ必须用弧度，不是角度。

e^(iθ)的模为1

|e^(iθ)|=√(cos²θ+sin²θ)=1，在单位圆上。

多值性

复数的对数和幂运算具有多值性，如e^(iθ)=e^(i(θ+2kπ))。

欧拉恒等式为什么美？

它将数学中最重要的五个常数e,i,π,1,0用一个等式联系起来。

欧拉公式有什么用？

用于复数运算、信号处理(傅里叶变换)、量子力学等。

i^i是实数吗？

是的，i^i=e^(-π/2)≈0.2079，是正实数。